期权定价方法之B-S模型

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Samuel.T.Lee

1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

(一)B-S模型有5个重要的假设

(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式

第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100365=0.274。

B-S定价模型的推导与运用

(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:

其中，E[G]—看涨期权到期期望值

其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:

首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(期权定价方法之B-S模型 μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围，所以，

其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)期权定价方法之B-S模型

(三)看跌期权定价公式的推导

B-S模型的发展、股票分红

B-S模型的影响

自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。

二项期权定价模型

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

二项期权定价模型（binomal option price model，SCRR Model，BOPM）

• 1 二项期权定价模型概述
• 2 构建二项式期权定价模型
• 3 二叉树思想
• 4 相关条目

二项期权定价模型概述

Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。

构建二项式期权定价模型

1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)期权定价方法之B-S模型 提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”期权定价方法之B-S模型 ，提出了风险中性定价理论。

1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价方法之B-S模型 期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。

一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价 格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一 证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。

二叉树思想

1：Black-Scholes方程模型优缺点：

Se rΔt = pSu + (1 − p)Sd （23）

即：e^{r\Delta t}=pu+(1-p)d=E(S) （24)

（25）

=>D(S) = σ 2 S 2 δt；

利用D(S) = E(S 2 ) − (E(S)) 2

E(S 2 ) = p(Su) 2 + (1 − p)(Sd) 2

=>σ 2 S 2 Δt = p(Su) 2 + (1 − p)(Sd) 2 − [pSu + (1 − p)Sd] 2

=>σ 2 Δt = p(u) 2 + (1 − p)(d) 2 − [pu + (1 − p)d] 2 （26）

其中：a = e rδt 。

风险中性定价理论概述

风险中性理论（又称风险中性定价方法 Risk Neutral Pricing Theory ）表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。

关于这个原理，有着一些不同的解释，从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle）。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法（Martingale Pricing Technique）。

期权定价方法之B-S模型

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期权定价方法之B-S模型

基于B-S公式的金融衍生品定价模型的改进及实证分析

一、引言
期权，权证以及其他金融衍生品定价理论的出现是现代金融发展一个重要的里程碑。基于广为人知的无套利理论，Black,Scholes和Merton在1973年创立了著名的期权定价公式。此公式的创立立即在学术界和专业投资领域得到了广泛的认可，并由此推动了现代金融衍生品市场的发展。
Black-Scholes公式对金融衍生品定价的深远影响和内在的重要性体现在于，它表明在一定的条件下，衍生品的价格可以通过特定的动态投资策略被精确地制定出来，而这个投资策略只和标的资产的价格和市场无风险利率有关。这在本质上改变了期权定价的方式，使得期权定价更加精确和严格，因而极大程度地推动了现代金融市场的发展。 利用Black-Scholes模型中所采用的方法，各种各样的金融衍生品，包括各种金融衍生品的组合，可以被精确地定价。
虽然衍生品的最后定价数值往往是高度计算机相关的，但是本质上由于模型建立在无套利条件的基本假设下，整套定价理论的实际应用中并没有留给传统统计学多少可以深入研究的空间。这主要是由于中间没有“误差项”可以去最小化，也没有相应的统计波动值得研究。诸如回归分析等传统统计方法即使在标的资产的价格变化模型的数据处理中都很少有用武之地。然而，这并不是说在B-S模型下的金融衍生品定价理论彻底与统计无关。至少在这套理论的实际应用中有两个问题确实需要统计推断。第一个问题是如何估计连续时间下标的资产价格变化模型中的某些参数。这点非常重要，因为标的资产的价格模型是之后的衍生品定价模型的基础。第二个问题与如何用Monte Carlo方法来解决“路径独立”的衍生品定价有关。

二、Black-Scholes定价模型
1、基本价格变化模型
随着金融衍生品市场的发展，在很多场合下我们需要考虑连续情况下的模型，而不再是简单的离散时间模型。例如，Merton推导Black-Scholes公式时就要求假设投资组合在任意时间时候都是可以快速调整的，只有这样才能从理论上构造出一个对冲的投资组合，从而通过无套利原则准确计算出衍生品的价格。
这是Black-Scholes公式的最重要的思想。然而在离散情况下，满足上述要求的投资往往是无法够构造的，因此本文中所有关于金融衍生品模型的讨论都将是在连续时间下的。
我们用来表示标的资产在 时刻的价格。我们常假设满足以下条件：
a、对任意的，
b、对任意的，增量与增量是相互统计独立的。
c.对每条轨道而言，是连续的。
满足这些条件的，就是著名的布朗运动或者维纳过程，该过程通常用来表示。也即（1）
随机变量表示描述标的资产的价格，有以下几个性质：

2、Black-Scholes期权定价模型
1973年，Fisher Black和Myron Scholes推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格都必须满足的微分方程，并运用该方程推导出欧式看涨期权和看跌期权的价值。在此，我们对Black-Scholes模型进行简单阐述，定价公式的推导过程在很多文献上都可以查到，所以在此不再详细介绍，本文只给出最后的推导结果，即定价公式。我们先规定一些符号：
S:股票现价
K:期权的执行价格
T:期权的到期时间
t:现在的时刻 期权定价方法之B-S模型
ST:在T时刻股票的价格
r:在T时刻到期的投资的无风险利率
c:一份欧式看涨期权的价值
p:一份欧式看跌期权的价值
在得出Black-Scholes定价公式之前，我们首先要导出Black-Scholes微分方程，Black-Scholes微分方程用到的基本假设如下：
1、股票价格服从几何布朗运动：

其中，z是标准布朗运动，是股票的期望增长率，是股票的波动率。
2、允许使用全部所得卖空衍生证券。
3、市场上没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的。
4、在衍生证券的存续期内无红利发放。
5、交易市场没有无风险套利机会。
6、证券交易是连续的。
7、无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。
在这7项假设的基础上我们可以推导出Black-Scholes微分方程：
（2）
其中f就是我们所关心的要确定的期权价格。对应于可用标的变量S定义的所有衍生证券，方程有很多解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于其使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键的边界条件为：；欧式看跌期权则为：。
而该方程的一个重要性质就是该方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变量。故风险偏好不会对其解产生影响，在对f进行定价时我们可以使用任何一种风险偏好，特别是，可以假设：所有的投资者都是风险中性的。风险中性的假设是求解Black-Scholes微分方程的人为假设，获得的方程解对所有世界都有效。当进入风险世界时，一方面，股票价格的期望收益率改变了；而另一方面，衍生证券的期望收益率也改变了，这两种效果在构造无风险证券组合的过程中效果互相抵消。
接下来我们可以得出Black-Scholes定价公式了。在风险中性的世界里，欧式看涨期权的价格是期望值的无风险利率贴现的结果，可得欧式看涨期权的价值：

三、期权价格模型的参数估计及模型改进
1、价格模型的参数估计
如前面所言，对金融衍生品的估价是基于标的资产的价格模型的，因此对标的资产的价格模型的研究是至关重要的。由于金融市场里有许许多多的不同类型的期权和其他衍生品，因此需要各种不用的价格模型来描述不同标的资产的价格变化走势。
首先我们需要考虑的就是带参数的标的资产价格模型的参数估计。为阐述参数估计需要涉及的问题，我们考虑最简单的标的资产价格变化模型：
（3）
B-S期权公式的推导中用到的标的资产对数价格变化模型是上述模型的特殊化。
由通常的假设是一个连续时间的Markov过程，我们可以利用联合密度函数来估计参数。由Markov性我们就可以得到：

其中。由B-S公式中的基本假设，可知连续的复合收益率是独立同分布的随机变量，可解得：
（4）
（5）
进一步的分析可以知道，由此得到的估计量是相合的。
至此，一套比较完整的期权定价理论已经形成。我们首先考虑一个合适的带参数价格变化模型来描述某个标的资产的价格变化行为，在满足一定条件的情况下用历史数据（极大似然估计方法）来估计得到合理的参数估计值，从而得到一个有效的价格变化模型。最后利用无套利思想来求得标的资产的衍生品价格。在整套理论中，合适的价格变化模型和参数估计是值得不断改进和研究的，而相对而言，最后一部分的无套利思想则是相对严密和精确的数学分析。
2、模型的改进
在B-S期权公式中使用的标的资产的对数价格变化模型其实也就是几何布朗运动。这样的价格运动过程表明在不同时期标的资产的价格变化在某种意义下具有“独立性”。然后在现实的金融市场中，这样的要求过于苛刻，因此需要新的价格模型的引入来更好的表述标的资产的价格变化运动行为。OU过程(Ornstein-Uhlenbeck process)便是一个很好的改进模型。
OU过程假设，标的资产的对数价格过程满足以下随机微分方程:

四、实证分析
本文的最后将利用所学内容进行一次实证模拟。由于中国暂时还是没有期权市场，而且国外期权市场的数据获得比较不易，因此本论文对2010年贵州茅台的股价行为进行分析，并以此算出基于贵州茅台的欧式期权定价。
首先得到2010年贵州茅台的股价原始数据，以日为单位，股价以当日收盘价为准。一共收集从2010年11月3日开始到2011年8月27日之间的201个数据，在此期间，贵州茅台没有分派过股息或拆分过股权。我们假设股价变化模型为几何布朗运动模型，即：

下面我需要对参数，进行参数估计。
令，，，并利用得到式（4）和式（5）得到
，。
得到参数估计值后，利用算得不同到期日，不同执行价格的基于贵州茅台的欧式期权价格。 期权定价方法之B-S模型

期权定价方法之B-S模型

Black—Scholes模型及其在新型期权定价中的应用

【摘要】虽然Black-Scholes模型成功解决了在有效市场下的期权定价问题，但由于它是在一定的假设条件下建立的，在实际的交易实施中，投资者会在得到一定的股票红利同时忽视了交易成本。Black-Scholes模型是近年来在期权定价方面应用的重要模型之一，极大推动了期权市场的革命性变化。本文围绕着Black-Scholes模型的期权定价，对其在新型期权定价中的应用进行了分析，并给出了一些自己的看法和建议。
【关键词】Black-Scholes模型 期权定价 期权市场 欧式期权 美式期权
一、Black-Scholes模型基本原理
期权是为了套期保值而创造出来的一种金融衍生工具，在Black-Scholes模型中，理论上只要人们通过合理的手段选择手中持有的证券和其衍生工具，就可以获得套期保值并无风险收益。在Black-Scholes模型中，主要基于资产价格的运动服务产品组合从而消除了模型中的随机变量，获得了风险条件下的期权定价模型。在该模型下，主要存在以下几个假设：第一，无风险利率r为常数，且对于任何到期日均为相同；第二，标的资产价格S服从对数正态分布；第三，在期权有效期内，无红利支付；第四，在套期保值中无交易成本；第五，无套利机会，标的资产可以实现连续交易。
由于标的资产的价格&=?S dt+σSdZ，由此可以得出S和t的函数G遵循测过程为：
在此S和G都受到同一个不确定性来源dz的影响。对此过程应用于标的资产价格的对数变化。
同时，由于期权都是其对应的标的资产和时间的代表函数，假设f是基于某种看涨期权或其他衍生的价格，那么，变量f一定是S和t的函数。因此，根据Ito引理就有： 期权定价方法之B-S模型
在构造标的资产和对应期权的证券组合以期望消除在上述过程中的不确定性为d，根据以上公式，我们可以选择证券组合为：卖空一份期和买入标的资产，并由此定义组合证券价值为：
则有：，次方程就消除随机项目，又因风险中性假设为前提，使得证券组合的收益和它的短期无风险收益率相同。以上即为利用Black-Scholes模型进行期权定价的基本原理。
二、Black-Scholes期权定价模型分析
基本假设：首先，股票价格演化遵循几何布朗运动，即dS =uSdt+RSdW，其中，u为预期的收益率，r为波动率，dW代表一个Eiener过程，其详细的表达方式可以满足正态分布；其次，无风险利率r是常数，对所有到期日相同；同时，在有效期内股票部支付红利；另外，不支付交易费用和税收，所有证券都是高度可分的；市场连续运行，卖空没有限制，也不存在套利机会。
假设S为股票价格，K为期权的执行价格，T为期权的到期时间，t则表示当前时间，V表示期权价格，而V=V（S，t），因此，对建立相应的连续模型构成投资组合，形成原生资源的份额，即构成期权定价的Black-Scholes模型
三、Black-Scholes模型在新型期权定价中的应用
（一）基于Black-Scholes模型的期权定价案例分析
通过对Black-Scholes模型的运用，根据其基本原理确定欧式期权的价值，下面就股票的标的资产和期限为一年有效期权为例进行说明。假设某股票现行市场价格为50元，期权确定的价格为47元，通过上文中的估计，得知标的资产价格的波动率为30%，作为无风险利率，即5%，有此分别对期权的看涨和看跌进行价格估算，根据正态分布表，则有：
对于美式期权在到期日之前的行权，涉及到美式期权内在价值和提前行权所获得的收益比较，这就要求通过对每一时间段的美式期权进行方程定价，比较出美式期权的定价。
（二）Black—Scholes模型的应用对我国期权市场的启示
Black—Scholes模型是衍生证券定价工作精准性和主动性发展进步的标志，主要是在风险中条件下构成的资产证券组合，消除标的资产的随机影响因素，并根据欧式边界条件进行欧式看涨和看跌的价格比较，以此来确定其内在价值的大小。
随着我国证券市场经济的不断发展，为了获得更加准确的衍生证券价格，就必须逐渐形成无风险的利率，这是至关重要的环节，通过对Black—Scholes模型的应用，对我国当前股票市场的各种衍生证券进行精准的定价，才能真正推动我国资产市场的发展和进步。
四、结束语
Black-Scholes模型在资本市场下解决了期权定价问题，同时也给投资者带来了新的困扰，在Black—Scholes模型的实际应用中，加强对美式和欧式看涨、看跌的演技和分析，把握证券衍生价格，并对交易成本在考虑支付的情况下进行定价模型的研究，对推动我国市场经济发展具有重要意义。随着我国资本市场的不断完善，相信Black-Scholes模型在证券期权定价中将会得到更好的应用和发展。
参考文献
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（编辑：龙大为）
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